A1 - MAOL

MATEMATIIKKA A1

Tehtävänanto
”Alla olevissa kuvissa on piirretty kahden funktion kuvaajat. Funktiot ovat muotoa $frac$ ja $Asinleft(fracright)+B$ , missä parametrit $a,b,d,A,B$ ja $C$ ovat kokonaislukuja ja $C>0.$ Päättele parametrien arvot. Vastauksia ei tarvitse perustella.
”
(lähde: YTL, https://digabi.fi/kokeet/esimerkkitehtavat/matematiikka/matematiikan-esimerkkitehtava-kumpi-tahansa-osa/, 26.8.2016)

A1

Ratkaisu:
Tarkastellaan aluksi ylempää kuvaa. Siinä oleva kuvaaja on funktion $\frac{ax+b}{x+d}$ , koska funktio ei ole määritelty kohdassa $x=-d$ ja toisaalta tiedetään, että sinifunktion kuvaaja on jaksollinen.

Koska kuvan funktio ei ole määritelty kohdassa $x=4$ , niin $d=-4.$ Määrittääkseen vakioiden

$a$ ja $b$ arvot kuvaajalta voi lukea kaksi kokonaislukupistettä, esim. pisteet $\left(-2,2\right)$ ja $\left(10,4\right).$ Sijoittamalla nämä sekä tiedon $d=-4$ lausekkeeseen saadaan yhtälöt $\frac{-2a+b}{-6}=2$ ja $\frac{10a+b}{6}=4$ . Kertomalla molempia yhtälöitä luvulla $6$ saadaan yhtälöiksi $2a-b=12$ ja $10a+b=24.$ Yhteenlaskumenetelmällä saadaan ratkaistua $a$ yhtälöstä $12a=36$ , eli $a=3.$ Luku $b$ saadaan sijoittamalla $a=3$ esimerkiksi yhtälöön $2a-b=12$ , jolloin ratkaisuksi saadaan $b=-6.$

Alemmassa kuvassa funktion arvot ovat välillä $\left[-4,10\right]$ , joten kertoimen $A$ tulee olla

$A=7,$ koska sinifunktion arvot ovat välillä $\left[-1,1\right].$ Koska arvot eivät ole symmetrisesti nollan molemmin puolin, on vakio $B$ nostanut kuvaajaa. Nostoa on tehty kolmen verran, joten $B=3.$ Tiedetään, että sinifunktion jakson pituus on $2\pi.$ Tällöin funktion $\sin\left(x\pi\right)$ jakson pituus on $2.$ Koska kuvan funktiolla jakson pituus on $8,$ joka selviää esimerkiksi katsomalla kahden minimikohdan välinen etäisyys, on luvun $C$ oltava $C=4$ .

Vastaus:

$a=3,\ b=-6,\ d=-4,\ A=7,\ B=3$ ja $C=4$ .

Tunnistaudu

Etkö ole vielä jäsen?

MATEMATIIKKA A1

A1