B3 - MAOL

MATEMATIIKKA B3

Tehtävänanto

”Kun Vaasan kaupunki paloi ja siirettiin 1850-luvulla piirsi kaupunginarkitehti Carl Axel Setterberg suoria esplanadeja, jotka olivat kohtisuorassa toisiaan kohden. Oheisessa kuvassa kaupungin keskusta on sijoitettu [[$xy$]]-koordinaatistoon. Vanha rautatie on oleellinen tehtävässä: rautatien käyrä on väriltään harmaa ja rajaa kaupungin keskustan pohjoiseen.

(a) Luo matemaattinen malli rautatien käyrästä käyttämällä neljännen asteen polynomifunktiota [[$p(x)=a x^4+b x^3+c x^2+d x+e$]], kun käyrä käy läpi seuraavat viisi pistettä:[[$(−4; 4,8)$]], [[$(−2; 5,5)$]], [[$(0,4)$]], [[$(2,2)$]] ja [[$(3,2;0)$]]. Malli pätee välillä [[$ [−4; 3,2] $]]. Ilmoita polynomin kertoimien likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella.

(b) Määritellään Vaasan keskusta alueeksi joka rajoittuu rautatien käyrään ja kohtisuoriin suoriin
[[$ x = − 4 $]], [[$x = 3 $]] ja [[$y=−6.$]]
Laske Vaasan keskustan pinta-ala, kun koordinaattijärjestelmän mittayksikkö on [[$150 text$]]. Ilmoita vastaus hehtaareissa kolmen desimaalin tarkkuudella. Piirrä Vaasan keskusta kuvaan vasa.jpg.”
(Lähde:https://digabi.fi/kokeet/esimerkkitehtavat/matematiikka/matematiikan-esimerkkitehtava-b-osa-2/)
Luettu 2.9.2017

B3 – TI-Nspire

Kuvan kohdistamista varten lisäsin testipisteen T(1,1). Kuvaa käänsin ensin Libre-officessa (draw), jokin kuvankäsittelyohjelma olisi toiminut ehkä paremmin. En ollut huomioinut, että y-suunnassa olisi pitänyt taso -6 saada mukaan. Alkuperäisessä kuvassa ei ollut edes aluetta niin pitkälle. Kuten kuvasta näkee, ei alkuperäisiä pisteitä rautatiestä ole katsottu kovinkaan tarkasti.

B3 – Casio

B3 – GeoGebra

Ratkaisu a-kohtaan

Ratkaistaan 4. asteen polynomifunktion p kertoimet a, b, c, d ja e muodostamalla yhtälöryhmä tunnetuista pisteistä ja ratkaistaan se CAS-ohjelmistolla.

Näyttökuva 2017-08-26 kello 21.43.16.png

Muodostetaan polynomifunktio p1 tunnetuista kertoimista a, b, c, d ja e, kun $x inleft[-4;3,2right]$ .

Näyttökuva 2017-08-26 kello 22.22.04.png

Vastaus: Kolmen desimaalin tarkkuudella kertoimet ovat

$a=-0,009; b=0,000; c=-0,027; d=-0,876; e=4,000$

Ratkaisu b-kohtaan

Piirretään funktio p1 sekä suorat x = – 4, x = 3, y = – 6 tehtäväannossa annetun kuvan päälle. Ratkaistaan Vaasan keskustan pinta-ala integroimalla.